省市2018届高三一模考试已经结束了，考场上时间有限，很多题考生来不及思考，下面伊顿教育小编为大家整理分享2018届高三一模数学试卷及答案，考生可以把自己还没有仔细解答的习题再做一遍，然后核对一下答案，看自己与正确答案的差别，查漏补缺做到融会贯通，希望可以帮到各位考生!

　　数 学

　　(160分，考试时间120分钟)

　　参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差s2=1n∑ni=1(xi-x)2，其中x=1n∑ni=1xi.

　　棱锥的体积V=13Sh，其中S是棱锥的底面积，h是高.

　　一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.

　　1.若集合A={x|1

　　2.若复数(a-2i)(1+3i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为________.

　　3.若数据31，37，33，a，35的平均数是34，则这组数据的标准差是________.

　　4.为了了解某学校男生的身体发育情况，随机抽查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图.根据此图估计该校2 000名男生中体重在70～78(kg)的人数为________.

　　(第4题) (第5题)

　　5. 运行如图所示的流程图，输出的结果是________.

　　6. 已知从2名男生2名女生中任选2人，则恰有1男1女的概率为________.

　　7. 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为________.

　　8. 若实数x，y满足x≤4，y≤3，3x+4y≥12，则x2+y2的取值范围是________.

　　9.已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若4a4，a3，6a5成等差数列，且a3=3a22，则S3=________.

　　10.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2+y2-6y+5=0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________.

　　11.已知函数f(x)=sinx-x+1-4x2x，则关于x的不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0的解集为________.

　　12.已知正△ABC的边长为2，点P为线段AB中垂线上任意一点，Q为射线AP上一点，且满足AP→•AQ→=1，则|CQ→|的较大值为________.

　　13.已知函数f(x)=log12(-x+1)-1，x∈[-1，k]，-2|x-1|， x∈(k，a]，若存在实数k使得该函数的值域为[-2，0]，则实数a的取值范围是________.

　　14.已知正实数x，y满足5x2+4xy-y2=1，则12x2+8xy-y2的较小值为________.
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　　二、 解答题：本大题共6小题，计90分.解答时应写出需要的文字说明、证明过程或演算步骤.

　　15. (本小题14分)

　　如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点.

　　(1) 证明：B1C1∥平面A1DE;

　　(2) 若平面A1DE⊥平面ABB1A1，证明：AB⊥DE.

　　16. (本小题14分)

　　已知在△ABC中，AB=6，BC=5，且△ABC的面积为9.

　　(1) 求AC的长度;

　　(2) 当△ABC为锐角三角形时，求cos2A+π6的值.

　　17. (本小题14分)

　　如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P，Q分别在射线OA和OB上.经测量得，扇形OPQ的圆心角(即∠POQ)为2π3、半径为1千米.为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA，OB交于M，N两点，并要求MN与扇形弧PQ相切于点S，设∠POS=α(单位：弧度)，假设公路的宽度均忽略不计.

　　(1) 试将公路MN的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围;

　　(2) 试确定α的值，使得公路MN的长度较小，并求出其较小值.

　　18.(本小题16分)

　　已知椭圆E1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若椭圆E2：x2ma2+y2mb2=1(a>b>0，m>1)，则称椭圆E2与椭圆E1“相似”.

　　(1) 求经过点(2，1)，且与椭圆E1：x22+y2=1“相似”的椭圆E2的方程;

　　(2) 若m=4，椭圆E1的离心率为22，点P在椭圆E2上，过点P的直线l交椭圆E1于A，B两点，且AP→=λAB→，

　　①若点B的坐标为(0，2)，且λ=2，求直线l的方程;

　　②若直线OP，OA的斜率之积为-12，求实数λ的值.

　　19.(本小题16分)

　　已知函数f(x)=ex，g(x)=ax+b，a，b∈R.

　　(1) 若g(-1)=0，且函数g(x)的图象是函数f(x)图象的一条切线，求实数a的值：

　　(2) 若不等式f(x)>x2+m对任意x∈(0，+∞)恒成立，求实数m的取值范围;

　　(3) 若对任意实数a，函数F(x)=f(x)-g(x)在(0，+∞)上总有零点，求实数b的取值范围.

　　20.(本小题16分)

　　已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=a2n+an，数列{bn}满足b1=12，2bn+1=bn+bnan.

　　(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式;

　　(2) 设数列{cn}满足cn=bn+2Sn，求c1+c2+…+cn的值;

　　(3) 是否存在正整数p，q，r(p

　　2018届高三年级第一次模拟考试(六)

　　数学附加题

　　(本部分40分，考试时间30分钟)

　　21. B. [选修42：矩阵与变换](本小题10分)

　　已知x，y∈R，若点M(1，1)在矩阵A=2x3y对应的变换作用下得到点N(3，5)，求矩阵A的逆矩阵A-1.

　　C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题10分)

　　在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是x=m+22t，y=22t(t是参数，m是常数).以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ.

　　(1) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;

　　(2) 若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且PQ=2，求实数m的值.

　　22.(本小题10分)

　　大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习，每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所.

　　(1) 求6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率;

　　(2) 设X，Y分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数，记ξ=|X-Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).

　　23.(本小题10分)

　　二进制规定：每个二进制数由若干个0，1组成，且较高位数字需要为1.若在二进制中，Sn是n位二进制数构成的集合，对于an，bn∈Sn，M(an，bn)表示an和bn对应位置上数字不同的位置个数.例如当a3=100，b3=101时，M(a3，b3)=1;当a3=100，b3=111时，M(a3，b3)=2.

　　(1) 令a5=10 000，求满足b5∈S5，且M(a5，b5)=2的b5的个数;

　　(2) 给定an(n≥2)，对于集合Sn中的bn，求M(an，bn)的和.
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　　2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案

　　1.{2}　2. -6　3. 2　4. 240　5. 94　6.23

　　7. 22π3　8. 14425，25　9. 1327　10. 1，32

　　11.(2，3)　12. 13+12　13. 12，2　14. 73

　　15. 解析：(1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形B1BCC1是矩形，所以B1C1∥BC.(2分)

　　在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，

　　故BC∥DE，所以B1C1∥DE.(4分)

　　又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，

　　所以B1C1∥平面A1DE.(7分)

　　(2) 在平面ABB1A1内，过点A作AF⊥A1D，垂足为F.

　　因为平面A1DE⊥平面A1ABB1，平面A1DE∩平面A1ABB1=A1D，AF⊂平面A1ABB1，所以AF⊥平面A1DE.(11分)

　　又DE⊂平面A1DE，所以AF⊥DE.

　　在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，所以A1A⊥DE.

　　因为AF∩A1A=A，AF⊂平面A1ABB1，A1A⊂平面A1ABB1，所以DE⊥平面A1ABB1.

　　因为AB⊂平面A1ABB1，所以DE⊥AB.(14分)

　　16. 解析：(1) 因为S△ABC=12AB×BC×sinB=9，又AB=6，BC=5，所以sinB=35.(2分)

　　又B∈(0，π)，

　　所以cosB=±1-sin2B=±45.(3分)

　　当cosB=45时，

　　AC=AB2+BC2-2AB•BCcosB=36+25-2×6×5×45=13.(5分)

　　当cosB=-45时，

　　AC=AB2+BC2-2AB•BCcosB=36+25+2×6×5×45=109.

　　所以AC=13或109.(7分)

　　(2) 由△ABC为锐角三角形得B为锐角，

　　所以AB=6，AC=13，BC=5，

　　所以cosA=36+13-252×6×13=213.

　　又A∈(0，π)，所以sinA=1-cos2A=313，(9分)

　　所以sin2A=2×313×213=1213，

　　cos2A=2132-3132=-513，(12分)

　　所以cos2A+π6=cos2Acosπ6-sin2Asinπ6=-53-1226.(14分)

　　17. 解析：(1) 因为MN与扇形弧PQ相切于点S，

　　所以OS⊥MN.

　　在Rt△OSM中，因为OS=1，∠MOS=α，所以SM=tanα.

　　在Rt△OSN中，∠NOS=2π3-α，所以SN=tan2π3-α，

　　所以MN=tanα+tan2π3-α=3(tan2α+1)3tanα-1，(4分)

　　其中π6<α<π2.(6分)

　　(2) 因为π6<α<π2，所以3tanα-1>0.

　　令t=3tanα-1>0，则tanα=33(t+1)，

　　所以MN=33t+4t+2， (8分)

　　由基本不等式得MN≥33•2t×4t+2=23，(10分)

　　当且仅当t=4t，即t=2时等号成立. (12分)

　　此时tanα=3，由于π6<α<π2，

　　故α=π3，MN=23千米.(14分)

　　18. 解析：(1) 设椭圆E2的方程为x22m+y2m=1，代入点(2，1)得m=2，

　　所以椭圆E2的方程为x24+y22=1.(3分)

　　(2) 因为椭圆E1的离心率为22，故a2=2b2，

　　所以椭圆E1：x2+2y2=2b2.

　　又椭圆E2与椭圆E1“相似”，且m=4，

　　所以椭圆E1：x2+2y2=8b2.

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，直线l1：y=kx+2，

　　①方法一：由题意得b=2，所以椭圆E1：x2+2y2=8，将直线l：y=kx+2，代入椭圆E1：x2+2y2=8得(1+2k2)x2+8kx=0，

　　解得x1=-8k1+2k2，x2=0，故y1=2-4k21+2k2，y2=2，

　　所以A-8k1+2k2，2-4k21+2k2.(5分)

　　又AP→=2AB→，即B为AP中点，

　　所以P8k1+2k2，2+12k21+2k2，(6分)

　　代入椭圆E2：x2+2y2=32得8k1+2k22+22+12k21+2k22=32，

　　即20k4+4k2-3=0，即(10k2-3)(2k2+1)=0，所以k=±3010，

　　所以直线l的方程为y=±3010x+2.(8分)

　　方法二：由题意得b=2，所以椭圆E1：x2+2y2=8，E2：x2+2y2=32，

　　设A(x，y)，B(0，2)，则P(-x，4-y)，

　　代入椭圆得x2+2y2=8，x2+2(4-y)2=32，解得y=12，

　　故x=±302，(6分)

　　所以k=±3010，

　　所以直线l的方程为y=±3010x+2.(8分)

　　②方法一： 由题意得x20+2y20=8b2，x21+2y21=2b2，x22+2y22=2b2，

　　y0x0•y1x1=-12，即x0x1+2y0y1=0，

　　因为AP→=λAB→，所以(x0-x1，y0-y1)=λ(x2-x1，y2-y1)，解得x2=x0+(λ-1)x1λ，y2=y0+(λ-1)y1λ，(12分)

　　所以x0+(λ-1)x1λ2+2y0+(λ-1)y1λ2=2b2，

　　则x20+2(λ-1)x0x1+(λ-1)2x21+2y20+4(λ-1)y0y1+2(λ-1)2y21=2λ2b2，

　　(x20+2y20)+2(λ-1)(x0x1+2y0y1)+(λ-1)2(x21+2y21)=2λ2b2，

　　所以8b2+(λ-1)2•2b2=2λ2b2，即4+(λ-1)2=λ2，所以λ=52.(16分)

　　方法二：不妨设点P在第一象限，设直线OP：y=kx(k>0)，代入椭圆E2：x2+2y2=8b2，

　　解得x0=22b1+2k2，则y0=22bk1+2k2，

　　因为直线OP，OA的斜率之积为-12，所以直线OA：y=-12kx，代入椭圆E1：x2+2y2=2b2，

　　解得x1=-2bk1+2k2，则y1=b1+2k2.

　　因为AP→=λAB→，所以(x0-x1，y0-y1)=λ(x2-x1，y2-y1)，

　　解得x2=x0+(λ-1)x1λ，y2=y0+(λ-1)y1λ，

　　所以x0+(λ-1)x1λ2+2y0+(λ-1)y1λ2=2b2，则x20+2(λ-1)x0x1+(λ-1)2x21+2y20+4(λ-1)y0y1+2(λ-1)2y21=2λ2b2，

　　(x20+2y20)+2(λ-1)(x0x1+2y0y1)+(λ-1)2(x21+2y21)=2λ2b2，

　　所以8b2+2(λ-1)[22b1+2k2•-2bk1+2k2+2•22bk1+2k2•b1+2k2]+(λ-1)2•2b2=2λ2b2，

　　即8b2+(λ-1)2•2b2=2λ2b2，即4+(λ-1)2=λ2，所以λ=52.
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　　19. 解析：(1) 由g(-1)=0知，g(x)的直线图象过点(-1，0).

　　设切点坐标为T(x0，y0)，由f′(x)=ex得切线方程是y-ex0=ex0(x-x0)，

　　此直线过点(-1，0)，故0-ex0=ex0(-1-x0)，解得x0=0，所以a=f′(0)=1.(3分)

　　(2) 由题意得m

　　令m(x)=ex-x2，x∈(0，+∞)，则m′(x)=ex-2x，再令n(x)=m′(x)=ex-2x，则n′(x)=ex-2，

　　故当x∈(0，ln2)时，n′(x)<0，n(x)单调递减;当x∈(ln2，+∞)时，n′(x)>0，n(x)单调递增，

　　从而n(x)在(0，+∞)上有较小值n(ln2)=2-2ln2>0，

　　所以m(x)在(0，+∞)上单调递增，(6分)

　　所以m≤m(0)，即m≤1.(8分)

　　(3) 若a<0，F(x)=f(x)-g(x)=ex-ax-b在(0，+∞)上单调递增，

　　故F(x)=f(x)-g(x)在(0，+∞)上总有零点的需要条件是F(0)<0，即b>1，(10分)

　　以下证明当b>1时，F(x)=f(x)-g(x)在(0，+∞)上总有零点.

　　①若a<0，

　　由于F(0)=1-b<0，F-ba=e-ba-a-ba-b=e-ba>0，且F(x)在(0，+∞)上连续，

　　故F(x)在0，-ba上必有零点;(12分)

　　②若a≥0，F(0)=1-b<0，

　　由(2)知ex>x2+1>x2在x∈(0，+∞)上恒成立，

　　取x0=a+b，则F(x0)=F(a+b)=ea+b-a(a+b)-b>(a+b)2-a2-ab-b=ab+b(b-1)>0，

　　由于F(0)=1-b<0，F(a+b)>0，且F(x)在(0，+∞)上连续，

　　故F(x)在(0，a+b)上必有零点，

　　综上得，实数b的取值范围是(1，+∞).(16分)

　　20. 解析：(1) 2Sn=a2n+an ，①

　　2Sn+1=a2n+1+an+1 ，②

　　②-①得2an+1=a2n+1-a2n+an+1-an，

　　即(an+1+an)(an+1-an-1)=0.

　　因为{an}是正数数列，所以an+1-an-1=0，

　　即an+1-an=1，

　　所以{an}是等差数列，其中公差为1.

　　在2Sn=a2n+an中，令n=1，得a1=1，

　　所以an=n.(2分)

　　由2bn+1=bn+bnan得bn+1n+1=12•bnn，

　　所以数列bnn是等比数列，其中首项为12，公比为12，

　　所以bnn=12n，即bn=n2n.(5分)

　　(2) cn=bn+2Sn=n+2(n2+n)2n+1，裂项得cn=1n•2n-1(n+1)2n+1，(7分)

　　所以c1+c2+…+cn=12-1(n+1)2n+1.(9分)

　　(3) 假设存在正整数p，q，r(p

　　即p2p+r2r=2q2q.

　　因为bn+1-bn=n+12n+1-n2n=1-n2n+1，

　　所以数列{bn}从第二项起单调递减，

　　当p=1时，12+r2r=2q2q，

　　若q=2，则r2r=12，此时无解;

　　若q=3，则r2r=14，因为{bn}从第二项起递减，所以r=4，所以p=1，q=3，r=4符合要求.(11分)

　　若q≥4，则b1bq≥b1b4≥2，即b1≥2bq，不符合要求，此时无解;

　　当p≥2时，有q-p=1，否则若q-p≥2，则bpbq≥bpbp+2=4pp+2=41+2p≥2，即bp≥2bq，矛盾，

　　所以q-p=1，此时r2r=12p，令r-p=m+1，则r=2m+1，所以p=2m+1-m-1，q=2m+1-m，

　　综上得，存在p=1，q=3，r=4或p=2m+1-m-1，q=2m+1-m，r=2m+1满足要求.(16分)

　　21.B. 解析：因为A11=35，即2x3y11=35，即2+x=3，3+y=5，解得x=1，y=2，

　　所以A=2132.(5分)

　　方法一：设A-1=abcd，则AA-1=2132abcd=1001，即2a+c=1，3a+2c=0，2b+d=0，3b+2d=1，(7分)

　　解得a=2，b=-1，c=-3，d=2，所以A-1=2-1-32.(10分)

　　方法二：因为abcd-1= dad-bc-bad-bc-cad-bcaad-bc，

　　且det(A)=2132=2×2-1×3=1，

　　所以A-1=2132-1=2-1-32.(10分)

　　C. 解析：(1) 因为直线l的参数方程是：x=m+22t，y=22t (t是参数)，

　　所以直线l的普通方程为x-y-m=0.(2分)

　　因为曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ，所以ρ2=6ρcosθ ，所以x2+y2=6x，

　　所以曲线C的直角坐标方程是(x-3)2+y2=9.(5分)

　　(2) 设圆心到直线l的距离为d，则d=32-12=22.

　　又d=|3-m|2=22.(8分)

　　所以|3-m|=4，即 m=-1或m=7.(10分)

　　22.解析：(1) 记 “6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习” 为事件A，则P(A)=1-126=6364.

　　故6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率为6364.(3分)

　　(2) ξ可能取值是0，2，4，6，记“6名学生中恰有i名被分到甲学校实习”为事件Ai(i=0，1，…，6)，则

　　P(ξ=0)=P(A3)=C36C3326=516，

　　P(ξ=2)=P(A2+A4)=P(A2)+P(A4)=

　　C26C4426+C46C2226=1532，

　　P(ξ=4)=P(A1+A5)=P(A1)+P(A5)=

　　C16C5526+C56C1126=316，

　　P(ξ=6)=P(A0+A6)=P(A0)+P(A6)=

　　C06C6626+C66C0626=132，(7分)

　　所以随机变量ξ的概率分布为：

　　ξ 0 2 4 6

　　P 516

　　1532

　　316

　　132

　　所以随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×516+2×1532+4×316+6×132=158.(9分)

　　故随机变量ξ的数学期望E(ξ)=158.(10分)

　　23.解析：(1) 因为M(a5，b5)=2，所以b5为5位数且与a5有2项不同.

　　因为首项为1，所以a5与b5在后四项中有两项不同，所以b5的个数为C24=6.(3分)

　　(2) 当M(an，bn)=0时，bn的个数为C0n-1;

　　当M(an，bn)=1时，bn的个数为C1n-1，

　　当M(an，bn)=2时，bn的个数为C2n-1，

　　…

　　当M(an，bn)=n-1时，bn的个数为Cn-1n-1.

　　设M(an，bn)的和为S, 则S=0C0n-1+1C1n-1+2C2n-1+…+(n-1)Cn-1n-1，(6分)

　　倒序得S=(n-1)Cn-1n-1+…+2C2n-1+1C1n-1+0C0n-1，

　　倒序相加得2S=(n-1)(C0n-1+C1n-1…+Cn-1n-1)=(n-1)•2n-1，即S=(n-1)•2n-2，

　　所以M(an，bn)的和为(n-1)•2n-2.(10分)